Tổng quát hoá Lý_thuyết_biểu_diễn

Biểu diễn lý thuyết tập hợp

Một biểu diễn lý thuyết tập hợp (còn được gọi là nhóm tác dụng hay biểu diễn hoán vị) của 1 nhóm G trên tập hợp X được cho bởi 1 hàm ρ {\displaystyle \rho } từ G đến XX, là tập hợp các hàm số từ X đến X, sao cho với mọi g1, g2 trong G và mọi x trong X:

ρ ( 1 ) [ x ] = x {\displaystyle \rho (1)[x]=x}
ρ ( g 1 G 2 ) [ x ] = ρ ( g 1 ) [ ρ ( g 2 ) [ x ] ] {\displaystyle \rho (g_{1}G_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]]}

Điều kiện này cùng với những tiên đề cho 1 nhóm hàm ý rằng ρ ( g ) {\displaystyle \rho (g)} là 1 song ánh (hoặc hoán vị) với mọi g trong G. Nên 1 biểu diễn hoán vị có thể được định nghĩa tương đương với 1 phép đồng cấu nhóm từ G đến nhóm đối xứng SX của X.

Biểu diễn trong những phạm trù khác

Mọi nhóm G có thể được xem là 1 phạm trù có 1 cấu trúc; các cấu xạ trong phạm trù này chỉ là phần tử G. Gọi C là 1 phạm trù bất kỳ, 1 biểu diễn của G trong C là 1 hàm tử từ G đến C. 1 hàm tử như vậy chọn ra 1 cấu trúc X trong C và 1 phép đồng cấu nhóm từ G đến Aut(X) là nhóm tự đẳng cấu của X.

Trong trường hợp C là VectF, là phạm trù các không gian vectơ trên trường F, định nghĩa này tương đương với biểu diễn tuyến tính. Cũng như vậy, 1 biểu diễn lý thuyết tập hợp là 1 biểu diễn của G trong phạm trù các tập hợp.

Một ví dụ khác là về phạm trù các không gian tôpô Top. Các biểu diễn trong Top là phép đồng cấu từ G đến nhóm đồng phôi của 1 không gian tôpô X.

Hai loại biểu diễn liên quan chặt chẽ đến biểu diễn tuyến tính là:

Biểu diễn phạm trù

Vì nhóm là phạm trù, nên biểu diễn có thể được áp dụng vào những phạm trù khác. Sự tổng quát hoá đơn giản nhất là cho monoid, vốn là phạm trù có 1 cấu trúc. Nhóm là monoid khi mỗi cấu xạ đều khả nghịch. Thông thường các monoid đều có biểu diễn trong mọi phạm trù. Trong phạm trù của các tập hợp, nó được thay bằng tác dụng monoid, nhưng trên không gian vectơ và các cấu trúc khác thì biểu diễn monoid có thể được nghiên cứu.

Tổng quát hơn, giả thiết phạm trù chỉ có 1 cấu trúc có thể được giảm tải. Tổng quát hoá hoàn toàn, nó trở thành lý thuyết hàm tử giữa các phạm trù.

Một trường hợp đặc biệt ảnh hưởng sâu sắc đến lý thuyết biểu diễn, đó là lý thuyết biểu diễn của quiver. Quiver đơn giản là 1 đồ thị có hướng (và được phép có nhiều vòng lặp và mũi tên), nhưng nó cũng có thể được định nghĩa là phạm trù (và thậm chí là 1 đại số) dựa vào đường đi trên đồ thị. Biểu diễn của phạm trù/đại số như vậy đã khai sáng nhiều khía cạnh của lý thuyết biểu diễn, chẳng hạn như trong 1 số trường hợp, bài toán sử dùng lý thuyết biểu diễn phi nửa đơn giản để khảo sát 1 nhóm có thể được rút gọn thành bài toán sử dụng lý thuyết biểu diễn nửa đơn giản để khảo sát 1 quiver.